math: กันยายน 2013

วันพฤหัสบดีที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2556

การหาความยาวรอบรูปวงกลม

ความยาวรอบรูปวงกลม

    การหาความยาวรอบรูป ( เส้นรอบวง ) ของวงกลม

                    จากค่า p   ≈   22/7   ≈   3.14

                              p  = เส้นรอบรูปวงกลม/เส้นผ่านศูนย์กลาง

      เส้นรอบรูปวงกลม       =   p × เส้นผ่านศูนย์กลาง

                                   =   p  × 2 × รัศมี
                     เมื่อรัศมีคือ r

       เพราะฉะนั้น เส้นรอบรูปของวงกลม =   2pr

ตัวอย่าง วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร จะมีความยาวของเส้นรอบวงเท่าไร

รัศมีคือ r = 7

                              เส้นรอบรูปของวงกลม = 2pr                               เส้นรอบรูปของวงกลม = 2 x 22/7 x 7
                              เส้นรอบรูปของวงกลม = 44 เซนติเมตร

ตอบ ๔๔ เซนติเมตร

https://sites.google.com/site/suwatchaisites/reuxng-tawprakxb/kar-hakhwam-yaw-rx

การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

                            การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

      ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม
      ความยาวรอบรูป คือ ผลบวกของความยาวด้านทุกด้านของรูปเหลี่ยม
             วิธีหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม
     รูปสี่เหลี่ยมโดยทั่วไปหาความยาวเส้นรอบรูปได้โดยวัดความยาวของด้าน
     ทุกด้านแล้วนำมาบวกกัน
     รูปสี่เหลี่ยมบางชนิดหาความยาวโดยใช้สูตรความยาวรอบรูปได้โดยวัดความ
     ยาวบางด้านแล้วนำมาคำนวนโดยใช้สูตรดังนี้
    สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมด้านขนาน = 2 × ( กว้าง + ยาว )
    สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 4 × ด้าน

                              สูตรหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม
    สี่เหลี่ยมจัตุรัส
    สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน

     ตัวอย่าง หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD ซึ่งยาว 3 เซนติเมตร
     = ด้าน x ด้าน
     = 3 x 3
    = 9 ตารางเซนติเมตร
                               สี่เหลี่ยมผืนผ้า
    สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

     ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS ซึ่งยาว 5 เซนติเมตร กว้าง 3 เซนติเมตร
     = กว้าง x ยาว
     = 3 x 5
     = 15 ตารางเซนติเมตร
                                                  สี่เหลี่ยมด้านขนาน
     สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง หรือ
     = 1/2 x ความยาวเส้นทแยงมุม x ผลบวกเส้นกิ่ง

  ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งยาว 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร
     = ฐาน x สูง
     = 6 x 4
     = 24 ตารางเซนติเมตร
    หรือ หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุมยาว 12 เซนติเมตรและความยาวเส้น
     กิ่งยาว 2 เซนติเมตรและ 2 เซนติเมตร
     = 1/2x ความยาวเส้นทแยงมุม x ผลบวกเส้นกิ่ง
     = 1/2x 12 x ( 2+2 )
     = 24 ตารางเซนติเมตร
                                      สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
   สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

     ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งยาวด้านละ 5 เซนติเมตร สูง 3 เซนติเมตร
     = ฐาน x สูง
     = 5 x 3
     = 15 ตารางเซนติเมตร
    หรือ หาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 5 เซนติเมตรและ 6 เซนติเมตร
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
     =1/2 x 5 x 6
     = 15 ตารางเซนติเมตร
                                           สี่เหลี่ยมรูปว่าว
     สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว =1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

     ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว ซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 4 และ 6 เซนติเมตร
     = 1/2x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
     =1/2 x 4 x 6
     = 12 ตารางเซนติเมตร
                                       สี่เหลี่ยมคางหมู
     สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
     = 1/2x สูง x ผลบวกของความยาวของด้านคู่ขนาน

     ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านคู่ขนานยาว 4 และ 5 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร
     =1/2 x สูง x ผลบวกของความยาวของด้านคู่ขนาน
     = 1/2x 4 x (4 + 5)
     = 18 ตารางเซนติเมตร
                                        สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
     สูตร การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
     = 1/2x ความยาวของเส้นทแยงมุม x ผลบวกความยาวเส้นกิ่ง

       ตัวอย่าง หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าซึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 12 เซนติเมตร เส้นกิ่ง
      ยาว 3 เซนติเมตรและ 4 เซนติเมตร
      = 1/2x ความยาวของเส้นทแยงมุม x ผลบวกความยาวเส้นกิ่ง
      = 1/2x 12 x ( 3+4 )
      = 42 ตารางเซนติเมตร
http://sakon-phangkaew.blogspot.com/2012/01/blog-post.html

รูปสามเหลี่ยม (อังกฤษ: triangle) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย

ABC

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

แบ่งตามความยาวของด้าน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ^[1]
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง ^[2]
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย ^[3]


สามเหลี่ยมด้านเท่า	รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว	รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

แบ่งตามมุมภายใน

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ
รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า


รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก	รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน	รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
	รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก) http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1

พาราโบรา

พาราโบลา

นิยาม

พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง และจุคงที่จุดหนึ่งนอกเส้นตรงนั้นเป็นระยะทางเท่ากันเสมอ

เส้นตรงคงที่ เรียกว่า เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
จุดคงที่ดังกล่าว เรียกว่า จุดโฟกัส (Focus)
เส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกน (Axis) ของพาราโบลา
จุดที่พาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกว่า จุดยอด (Vertex)

พาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานกับแกน X

สมการ (y - k) ² = 4 c (x - h)
จุดยอด (h, k)จุดโฟกัส (h + c, k)
ไดเรกตริกซ์ x = h - c
แกนสมมาตร y = k

พาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานกับแกน Y

สมการ (x - h) ² = 4 c (y - k)
จุดยอด (h, k)
จุดโฟกัส (h, k + c)
ไดเรกตริกซ์ y = k - c
แกนสมมาตร x = h

http://www.maths.sci.ku.ac.th/research/product/seminar/ma32/41040015/Parabola/Parastart.html

รูปทรงเรขาคณิต

รูปเรขาคณิตสองมิติ แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ ตามลักษณะของขอบหรือด้านของรูป ได้แก่ กลุ่มที่มีขอบหรือด้านของรูปเป็นส่วนของเส้นตรง กลุ่มนี้คือ รูปหลายเหลี่ยม ( polygon ) และกลุ่มที่มีขอบหรือด้านเป็นเส้นโค้งงอ เช่น รูปวงกลม และรูปวงรี เป็นต้น กลุ่มนี้ไม่มีชื่อเรียกโดยเฉพาะ

เป้าหมายสำคัญของการเรียนรู้เรขาคณิต เพื่อฝึกทักษะในด้านมิติสัมพันธ์ หรือความรู้สึกเชิงปริภูมิ (spatial sense ) ฝึกการให้เหตุผลแบบต่างๆ นำแนวคิดทางเรขาคณิตไปใช้ในชีวิตจริง และเป็นพื้นฐานในการ เชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์กับความรู้ในสาขาอื่น

กิจกรรมการเรียนรู้แนวคิดทางเรขาคณิต จะเริ่มจากการทำความเข้าใจรูป ( recognizing ) การบอกลักษณะของรูป ( describing ) และการจำแนกรูป ( classifying ) รวมถึงศึกษาสมบัติและความสัมพันธ์ของรูปนั้นๆ จากนั้นเป็นการใช้สมบัติและความสัมพันธ์ของรูปประกอบกับหลักของการให้เหตุผลไปประยุกต์สู่การแก้ปัญหาทั้งปัญหาทางคณิตศาสตร์และปัญหาอื่นๆ

กิจกรรมการเรียนรู้เรขาคณิตในระดับประถมศึกษาจะเริ่มด้วยการให้ผู้เรียนได้ศึกษา รูปเรขาคณิตสองมิติ รูปเรขาคณิตสามมิติ สมบัติและความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตเหล่านั้น โดยเริ่มจากการฝึกให้ผู้เรียนได้สังเกต สำรวจ ค้นหาข้อมูลที่กำหนดแล้วคาดเดาคำตอบหรือผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ จากนั้นนำข้อมูลที่ได้มาประมวลเป็นข้อสรุปโดยใช้ความรู้ที่มีอยู่เพื่อตรวจสอบหรือยืนยันข้อคาดเดานั้นว่าเป็นดังที่คาดไว้หรือไม่ หรือสรุปได้เป็นอย่างอื่นที่ต่างไปจากข้อคาดเดาเดิม จากกิจกรรมข้างต้นจะพบว่าผู้เรียนได้แสดงเหตุผลเพื่อนำไปสู่การสรุปข้อคาดเดานั้น ซึ่งแนวทางดังกล่าวจะทำให้ผู้เรียนเกิดความคิดรวบยอด ( concept ) ทางเรขาคณิต อันจะนำไปสู่เป้าหมาย ปลายทางที่สำคัญของการเรียนเรขาคณิต คือได้เห็นโครงสร้างของระบบ และเข้าใจระบบการให้เหตุผลและการพิสูจน์ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของการศึกษาคณิตศาสตร์

http://pukbungzaza.blogspot.com/

เลขยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม บวก

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n$

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

$a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n$

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น
เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน aⁿ สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

นิพจน์ a² = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a² ตารางหน่วย
นิพจน์ a³ = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a³ ลูกบาศก์หน่วย
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1

เนื่องจาก a¹ หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a
จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง a^{n − 1} = aⁿ/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a⁰ = 1
หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน

เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a⁰ = 1 นำไปสู่กฎสองประการ

จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 0⁰ ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

0⁵ = │ {} │ = 0	ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
1⁴ = │ { (1, 1, 1, 1) } │ = 1	มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
2³ = │ { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } │ = 8	มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
3² = │ { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } │ = 9	มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
4¹ = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
5⁰ = │ { () } │ = 1	มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

จึงสามารถนิยามว่า

$a^{-n} = (a^n) ^{-1} = \frac{1}{a^n}$

เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม
นิยามของ a⁻ⁿ สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ a^maⁿ = a^m+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้

$a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\, +\, n} = a^0 = 1$

เมื่อ a⁰ ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a⁻ⁿ = 1/aⁿ ดังที่ได้กล่าวแล้ว
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้

เอกลักษณ์และสมบัติ

เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 2³ = 8 แต่ 3² = 9
และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น (2+3) +4 = 9 = 2+ (3+4) และ (2·3) ·4 = 24 = 2· (3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2³ ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8⁴ หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 3⁴" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2⁸¹ หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

$a^{b^c} = a^{ (b^c)} \ne (a^b) ^c$