math: เลขยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม บวก

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n$

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

$a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n$

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น
เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน aⁿ สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

นิพจน์ a² = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a² ตารางหน่วย
นิพจน์ a³ = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a³ ลูกบาศก์หน่วย
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1

เนื่องจาก a¹ หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a
จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง a^{n − 1} = aⁿ/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a⁰ = 1
หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน

เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a⁰ = 1 นำไปสู่กฎสองประการ

จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 0⁰ ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

0⁵ = │ {} │ = 0	ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
1⁴ = │ { (1, 1, 1, 1) } │ = 1	มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
2³ = │ { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } │ = 8	มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
3² = │ { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } │ = 9	มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
4¹ = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
5⁰ = │ { () } │ = 1	มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

จึงสามารถนิยามว่า

$a^{-n} = (a^n) ^{-1} = \frac{1}{a^n}$

เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม
นิยามของ a⁻ⁿ สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ a^maⁿ = a^m+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้

$a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\, +\, n} = a^0 = 1$

เมื่อ a⁰ ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a⁻ⁿ = 1/aⁿ ดังที่ได้กล่าวแล้ว
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้

เอกลักษณ์และสมบัติ

เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 2³ = 8 แต่ 3² = 9
และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น (2+3) +4 = 9 = 2+ (3+4) และ (2·3) ·4 = 24 = 2· (3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2³ ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8⁴ หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 3⁴" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2⁸¹ หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

$a^{b^c} = a^{ (b^c)} \ne (a^b) ^c$

math

วันพฤหัสบดีที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2556

เลขยกกำลัง